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算数类题目

题目记录

用于记录算数类题目

方式建模

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题目

某次考试，题目是 30 道多项选择题，每题选对所有正确选项3分，少选目正确得1分，不选或选错倒扣1分，小王最终得分为 50 分，现要求改变评分方式，选对所有正确选项得4分，少选目正确得1分，不选或错选倒扣2分，这种评分方式下小 王将得()分。

解题思路：

1. 理解题意：题目中描述了两种评分方式，我们需要首先分析第一种评分方式下小王的得分情况，接着根据这些信息推算第二种评分方式下的得分。
2. 设定变量：设定变量来表示小王的情况。例如，设 ( x ) 为正确选的题目数， ( y ) 为少选的题目数，( z ) 为错选或不选的题目数。
3. 构建方程：根据第一种评分方式，构建得分方程。
4. 转化得分方式：用小王在第一种评分方式下的信息，推导出他在第二种评分方式下的得分。
5. 计算评分。

解题步骤：

1. 定义变量：

   • x：选对的题目数
   • y：少选的题目数
   • z：不选或选错的题目数

2. 根据题意关系可以得出：

   • 总题目数 fn1： x + y + z = 30
   • 第一种评分得分公式为 fn2： 3x + y - z = 50

3. 从以上两个方程中可得：

   • 使用第一个方程可以表示 Z： z = 30 - x - y
   • 将 Z 代入第二个方程得： 3x + y - (30 - x - y) = 50
   • 拆开Z后可得(30 - x - y) 可以视作 30 + x + y： 3x + y -30 + x + y = 50
   • 继续化简可以得到 4x + 2y - 30 = 50
   • 接着化简 4x + 2y = 80
   • 继续化简得到： 2x + y = 40
     

4. 移动到新的评分方式。根据新的规则：

   • 正确选所有选项得 4 分
   • 少选得 1 分
   • 不选或选错倒扣 2 分
   • 使用 ( x, y, z ) 计算新得分： [ 4x + y - 2z ]
   • 代入 ( z = 30 - x - y )： [ 4x + y - 2(30 - x - y) = 4x + y - 60 + 2x + 2y = 6x + 3y - 60 ]

5. 连接 (1) 式：

   • 在 (1) 式 ( y = 40 - 2x ) 代入： [ 6x + 3(40 - 2x) - 60 = 6x + 120 - 6x - 60 = 60 ]

最终，小王在新的评分方式下将得分为 60 分。

知识点：

1. 转变对应的符号 要将其中的值找到相关的内容进行变换 例如 在 x + y + z = 30 这个方程式1 可以将 Z 的值 转变为 30 - x - y 从而带入到 方程式2中, 这样就可以将 方程式二 转变为只有x和y 两个未知数的方程, 从而得到 3x + y - (30 - x - y) = 50 这个方程
2. 括号中的减在移除对应括号后需要将其改变符号 然后我们将 Z的内容进行变换, 将符号统一分配 从而得到 3x + y - 30 + x + y = 50 这个方程 随后对其化简
3. 合并变量 可以将其中统一的符号合并在一起, 从而得到 4x + 2y - 30 = 50

括号提取

#d 正保持, 负相反 在移除括号时, 如果括号前的符号是正的, 则括号中的符号保持不变; 如果括号前的符号是负的, 则括号中的符号取反。

#e 括号前为负 30 - (20 - 10 + 4) = 16 在尝试移除这个括号时, 因为括号前的符号为负, 所以括号中的符号取反, 得到: 30 + (-20 + 10 - 4) 移除括号后得到: 30 - 20 + 10 - 4 = 16

#e 括号前为正 30 + (20 - 10 + 4) = 44 在尝试移除这个括号时, 因为括号前的符号为正, 所以括号中的符号保持不变, 得到: 30 + (+20 - 10 + 4) 移除括号后得到: 30 + 20 - 10 + 4 = 44

#d 注意事项 去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉. 遇到多层括号一般由里到外,逐一一层层地去掉括号,也可由外到里.数"-"的个数.

前置知识: 乘法分配律

乘法分配律

#d 定义 乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。

#e 普通算式的应用 25 × 401 可以变成 25×（400+1） 之后利用乘法分配律可以得到 25×400+25×1 =10000+25 =10025

#e 方程式中的应用 2(3x+4)=20 可以利用分配律得到 2*3x+2*4=20 6x+8=20 6x=12 x=2

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某新款手机上市时单价是 2598 元，销售一段时间后，厂家采取价促销策略,
手机单价直降 300 元，于是每月销量提升为原来的 2 倍，每月利润提升为原来的 1.5 倍，
则该款手机的成本价是()元。

已知信息

原单价 P1= 2598 元

降价幅度 D=300 元 降价后的单价 2598 - 300 = 2298 元 降价后每月销量提升为原来的 2 倍 降价后每月利润提升为原来的 1.5 倍

设定变量

设定成本价为 X
然后将每月销量假设为 1 那么降价后的销量则为 2

则可以得出原本利润的式子
2598 - x * 1

新利润的式子
2298 - x * 2

可以得出方程式
1.5 * (2598 - X) * 1 = (2298 - X) * 2

移除掉*1 1乘以任何数等于该数本身
1.5 * (2598 - X) = 2298 - X * 2

去除括号
将等号左边进行化简, 同时乘以 1.5, 将 *1 给移除掉

1.5 * 2598 - 1.5 * X

3897 - 1.5x 得到如下方程式 3897 - 1.5x = (2298 - x) * 2

在重复将等号左边进行化简得到如下方程式 3897 - 1.5x = 4596 - 2x

随后将常数和转移到同一边,(左右移动数时, 符号一起移动, 并取反) 得到如下方程 -1.5x + 2x = 4596 - 3897

将其化简得到如下方程
0.5x = 699 将其解出方程 x = 1398

所以该题的成本价为 1398 元

小技巧

遇到这类题目时, 可以将其中不是很关键的变量使用最简单的值进行代替,
例如将销量假设为1 ,这样就可以将 2元方程转换为1元方程,
省去了一个变量的影响, 这样解起来就会轻松很多

移项

#d 定义 把方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，
就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

#d 原理 根据减法法则：
a-b=a+(-b),即减去一个数等于加上这个数的相反数。
当想把左边的某项（如x）移到右边时，其实就是在左边减去了（x）这一项，
由据同解原理，也必须在右边减去这一项，再根据减法法则，
右边就须加上这项（x）的相反数，
所以，左边的项（x）减掉后（从有到无），右边就出现它的相反数了（从无到有）。
感觉就像是左边的项改变符号后移到了右边。
把方程右边的某些项移到左边，是同一个道理

#d 移项的注意点

1. 从等号的一遍移动到另一边地移项的数的符号一定改变
2. 没有移动的项的符号不能改变
3. 等号同边内移动不需要改变符号

#e 加法 2 * 1 + 3 = 5 将 加三移到右边 2 * 1 = 5 - 3

#e 减法 2 * 1 - 3 = -1 将 3 移到右边 2 * 1 = -1 + 3

#e 乘法 2 * 1 * 3 = 6 将 3 移到右边 2 * 1 = 6 / 3

#e 除法 6 / 2 = 3 将 2 移到右边 6 = 3 * 2

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某公司技术人员占员工总数的 8/9，年底公司共有7人获得优秀员工奖励，其中获奖的技术人员占公司员工总数的1/6，问获奖的非技术人员占非技术人员总数的()。

答题思路

重新整理已知条件与未知条件的关系, 并明确目标

1. 设总人数为x
2. 技术 8/9 * x
3. 得奖技术 1/6 * x
4. 得奖总人数 7 目标: 求得奖的非技术占 总非技术的人数比例

通过已知条件, 我们可以知道, 总人数应该是 6 和 9的公倍数, 因为不可能有半个人的存在 6和9的最小公倍数为 18, 所以我们可以将人数确定为 18K 得到如下总人数的式子 x = 18K

随后我们用假设法来带入测试 首先K带入1 技术设置为Y:
8/9 * 18 = y y = 16

得奖技术为Z: 1/6 * 18 = z z = 3 得奖总人数为7: 7 - 3 = 4

计算非计算的总人数 18 - 16 = 2

得奖非技术占非技术人员的比例为: 4/2
得出的结果分子比分母大, 不符合逻辑, 因此我们再换一个K, 带入2 技术人员数量为 8/9 × 36=32 非技术人员数量为 1/9 × 36=4 获奖技术人员数量为 1/6 × 36=6 获奖非技术人员数量为 7 − 6=1

得奖非技术人员占非技术人员的比例为: 1/4

该结果符合题目要求, 所以可以直接使用. 可以接着尝试带入3,可以看见获奖技术有9人不符合条件. 所以要求就是 1/4 48 6 9

思路总结

1. 该题的解题思路是先将已知条件整理为方程式, 再根据题目要求, 确定目标, 并通过假设法来带入测试
2. 遇到有多个分数的情况下, 可以尝试通过最小公倍数的方法来确定总人数

公倍数

#d 定义 指在两个或两个以上的自然数中，
如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。
公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数（lowest common multiple）。

#e 公倍数的示例 例如: 9 和 6 9 * 2 = 18 6 * 3 = 18 所以 9 和 6 的公倍数是 18, 而且直接并没有其他更小的同时整除这两个数的数, 所以 18 是它们的最小公倍数 而18 * 2 = 36, 36 * 3 = 108, 这些数也可以同时整除9或者6, 所以这些数是他们的公倍数.

最小公倍数

#d 定义
公倍数中最小的，就称为这些整数的最小公倍数（lowest common multiple）。

#d 求最小公倍数(最大值法)
最小公倍数是所有因数在它们出现的最大次数中的乘积。
两个数的因数单独列出, 并统计其出现的次数, 如果两个数有共同的因数, 则取最大的次数,
随后将这些因数进行幂运算, 值为出现的最大次数.

#e 30与45的最小公倍数(两个数的因数有相同因数)
30 = 2 * 3 * 5
45 = 3 * 3 * 5

质因数3，在这两个数中出现的最多是2次（在45中）。
质因数5，出现的最多是1次（在两个数中都是1次）。
质因数2，出现在30中1次。

所以根据原理可以得出式子:
3 * 3 * 5 * 2 = 90

#e 32 和 21的最小公倍数

32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2

21 = 3 * 7

接下来，我们比较这些质因数的出现次数：
质因数2，在32中出现了5次。
质因数3，在21中出现了1次。
质因数7，在21中出现了1次。
所以根据原理可以得出式子:
3 * 7 * 32(2的5次方, 直接用结果代替 ) = 672

#d 求最小公倍数(相同数提取法)
首先把两个数的质因数写出来，
最小公倍数等于这两个数全部共有的质因数的代表与各自独有的质因数的乘积。
如果没有相同的质因数, 则将其全部相乘即可

#e 30与45的最小公倍数(两个数的因数有相同因数)
30 = 2 * 3 * 5 45 = 3 * 3 * 5

30 和 45 中同时出现了质因数3和5, 所以将其相乘,
随后再将两个数中剩余的质因数相乘
3 * 5 * 2 * 3 = 90

#e 32 和 21的最小公倍数 32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 21 = 3 * 7

这两个数中没有相同的质因数, 所以直接相乘即可 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 672

#e 6和15 6 = 2 * 3
15 = 3 * 5

这两个数包含相同的质因数3, 随后将其剩下的2和5与其相乘即可 3 * 2 * 5 = 30

#e 56和70 56 = 2 * 2 * 2 * 7
70 = 2 * 5 * 7

其中相同的数有2和7, 将其相乘 随后将剩余的 2 * 2 * 5 即可

2 * 7 * 2 * 2 * 5 = 560

质因数

#d 定义
数论里是指能整除给定正整数的质数。
根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积

#d 通俗解释
质因数就是把一个大数分解成几个小数的过程，
这些小数是一种特殊的数，叫做“质数”。

质数

#d 特点
质数是只能被1和它自己整除的数

#e 质数的示例
2,3,5,7等是质数

#t 9是否是质数
9不是质数, 因为9能被1,3,9整除, 多了一个3, 所以它不是质数

53.比例问题

某抗洪指挥部的所有人员中, 2/3的人在前线, 又增派6人. 此时前线人数占总人数的75%. 如果需要保留至少10%的人员在指挥中心.那么最多还能派多少人前往前线?

解题思路

我们可以假设总人数为3x人. 那么在前线人数为2x人. 增派6人后占前线人占总人数的75%
2x + 6 / 3x = 0.75

消去分母
将方程两边都乘以3x, 从而将分母的3x消去
3x * 2x + 6 / 3x = 3x * 0.75

化简方程
2x + 6 = 2.25x

移位
使用移位将常数与代数项分离, 从而简化. 得到如下方程
2x - 2.25x = -6
-0.25x = -6

同时移去符号
0.25x = 6

得出 x = 6 / 0.25

解答该方程

消除小数点
将两个数同时乘以 100 从而将小数点消去,得到x = 24, 总人数为3x = 24 * 3 = 72 600 / 25 = 24

然后计算需要留多少人
72 * 0.1 = 7.2
因为是人,所以需要向上取整 得出 8人

前线已有人数可以为
2x + 6 = 48 + 6 = 54

还能派遣的人数为10人 (72 - 54) - 8 = 18 - 8 = 10人

等式的平衡性

#d 定义
如果一个等式的两边都进行相同的数学操作（如加、减、乘、除），那么这个等式依然成立。
这是因为在等式中，等号表示左右两边是相等的，进行相同的操作不会改变它们的相等关系。

#d 作用

1. 使等式更简单，方便计算和理解。
2. 用于化简等式，使等式更易于计算。
3. 让等式符合某种规律, 从而能够使用该种规律的式子来解答问题
   

#e 意义不明的常数示例
2 = 2 这个式子我们可以将左右两边都乘以2，
得到4 = 4，所以这个等式是平衡的。

#e 移除x的示例
2x = 4 这个式子我们可以将左右两边都除以2,
得到x = 2 ，所以这个等式是平衡的。
还能化简

要学会细心

哪怕是最简单的基础乘法也应该去验证! 否则很有可能就错在最后一步