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算数类题目

题目记录

用于记录算数类题目

方式建模

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题目

某次考试，题目是 30 道多项选择题，每题选对所有正确选项3分，少选目正确得1分，不选或选错倒扣1分，小王最终得分为 50 分，现要求改变评分方式，选对所有正确选项得4分，少选目正确得1分，不选或错选倒扣2分，这种评分方式下小 王将得()分。

解题思路：

1. 理解题意：题目中描述了两种评分方式，我们需要首先分析第一种评分方式下小王的得分情况，接着根据这些信息推算第二种评分方式下的得分。
2. 设定变量：设定变量来表示小王的情况。例如，设 ( x ) 为正确选的题目数， ( y ) 为少选的题目数，( z ) 为错选或不选的题目数。
3. 构建方程：根据第一种评分方式，构建得分方程。
4. 转化得分方式：用小王在第一种评分方式下的信息，推导出他在第二种评分方式下的得分。
5. 计算评分。

解题步骤：

1. 定义变量：

   • x：选对的题目数
   • y：少选的题目数
   • z：不选或选错的题目数

2. 根据题意关系可以得出：

   • 总题目数 fn1： x + y + z = 30
   • 第一种评分得分公式为 fn2： 3x + y - z = 50

3. 从以上两个方程中可得：

   • 使用第一个方程可以表示 Z： z = 30 - x - y
   • 将 Z 代入第二个方程得： 3x + y - (30 - x - y) = 50
   • 拆开Z后可得(30 - x - y) 可以视作 30 + x + y： 3x + y -30 + x + y = 50
   • 继续化简可以得到 4x + 2y - 30 = 50
   • 接着化简 4x + 2y = 80
   • 继续化简得到： 2x + y = 40
     

4. 移动到新的评分方式。根据新的规则：

   • 正确选所有选项得 4 分
   • 少选得 1 分
   • 不选或选错倒扣 2 分
   • 使用 ( x, y, z ) 计算新得分： [ 4x + y - 2z ]
   • 代入 ( z = 30 - x - y )： [ 4x + y - 2(30 - x - y) = 4x + y - 60 + 2x + 2y = 6x + 3y - 60 ]

5. 连接 (1) 式：

   • 在 (1) 式 ( y = 40 - 2x ) 代入： [ 6x + 3(40 - 2x) - 60 = 6x + 120 - 6x - 60 = 60 ]

最终，小王在新的评分方式下将得分为 60 分。

知识点：

1. 转变对应的符号 要将其中的值找到相关的内容进行变换 例如 在 x + y + z = 30 这个方程式1 可以将 Z 的值 转变为 30 - x - y 从而带入到 方程式2中, 这样就可以将 方程式二 转变为只有x和y 两个未知数的方程, 从而得到 3x + y - (30 - x - y) = 50 这个方程
2. 括号中的减在移除对应括号后需要将其改变符号 然后我们将 Z的内容进行变换, 将符号统一分配 从而得到 3x + y - 30 + x + y = 50 这个方程 随后对其化简
3. 合并变量 可以将其中统一的符号合并在一起, 从而得到 4x + 2y - 30 = 50

括号提取

#d 正保持, 负相反 在移除括号时, 如果括号前的符号是正的, 则括号中的符号保持不变; 如果括号前的符号是负的, 则括号中的符号取反。

#e 括号前为负 30 - (20 - 10 + 4) = 16 在尝试移除这个括号时, 因为括号前的符号为负, 所以括号中的符号取反, 得到: 30 + (-20 + 10 - 4) 移除括号后得到: 30 - 20 + 10 - 4 = 16

#e 括号前为正 30 + (20 - 10 + 4) = 44 在尝试移除这个括号时, 因为括号前的符号为正, 所以括号中的符号保持不变, 得到: 30 + (+20 - 10 + 4) 移除括号后得到: 30 + 20 - 10 + 4 = 44

#d 注意事项 去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉. 遇到多层括号一般由里到外,逐一一层层地去掉括号,也可由外到里.数"-"的个数.

前置知识: 乘法分配律

乘法分配律

#d 定义 乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。

#e 普通算式的应用 25 × 401 可以变成 25×（400+1） 之后利用乘法分配律可以得到 25×400+25×1 =10000+25 =10025

#e 方程式中的应用 2(3x+4)=20 可以利用分配律得到 2*3x+2*4=20 6x+8=20 6x=12 x=2

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某新款手机上市时单价是 2598 元，销售一段时间后，厂家采取价促销策略,
手机单价直降 300 元，于是每月销量提升为原来的 2 倍，每月利润提升为原来的 1.5 倍，
则该款手机的成本价是()元。

已知信息

原单价 P1= 2598 元

降价幅度 D=300 元 降价后的单价 2598 - 300 = 2298 元 降价后每月销量提升为原来的 2 倍 降价后每月利润提升为原来的 1.5 倍

设定变量

设定成本价为 X
然后将每月销量假设为 1 那么降价后的销量则为 2

则可以得出原本利润的式子
2598 - x * 1

新利润的式子
2298 - x * 2

可以得出方程式
1.5 * (2598 - X) * 1 = (2298 - X) * 2

移除掉*1 1乘以任何数等于该数本身
1.5 * (2598 - X) = 2298 - X * 2

去除括号
将等号左边进行化简, 同时乘以 1.5, 将 *1 给移除掉

1.5 * 2598 - 1.5 * X

3897 - 1.5x 得到如下方程式 3897 - 1.5x = (2298 - x) * 2

在重复将等号左边进行化简得到如下方程式 3897 - 1.5x = 4596 - 2x

随后将常数和转移到同一边,(左右移动数时, 符号一起移动, 并取反) 得到如下方程 -1.5x + 2x = 4596 - 3897

将其化简得到如下方程
0.5x = 699 将其解出方程 x = 1398

所以该题的成本价为 1398 元

小技巧

遇到这类题目时, 可以将其中不是很关键的变量使用最简单的值进行代替,
例如将销量假设为1 ,这样就可以将 2元方程转换为1元方程,
省去了一个变量的影响, 这样解起来就会轻松很多

移项

#d 定义 把方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，
就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。

#d 原理 根据减法法则：
a-b=a+(-b),即减去一个数等于加上这个数的相反数。
当想把左边的某项（如x）移到右边时，其实就是在左边减去了（x）这一项，
由据同解原理，也必须在右边减去这一项，再根据减法法则，
右边就须加上这项（x）的相反数，
所以，左边的项（x）减掉后（从有到无），右边就出现它的相反数了（从无到有）。
感觉就像是左边的项改变符号后移到了右边。
把方程右边的某些项移到左边，是同一个道理

#d 移项的注意点

1. 从等号的一遍移动到另一边地移项的数的符号一定改变
2. 没有移动的项的符号不能改变
3. 等号同边内移动不需要改变符号

#e 加法 2 * 1 + 3 = 5 将 加三移到右边 2 * 1 = 5 - 3

#e 减法 2 * 1 - 3 = -1 将 3 移到右边 2 * 1 = -1 + 3

#e 乘法 2 * 1 * 3 = 6 将 3 移到右边 2 * 1 = 6 / 3

#e 除法 6 / 2 = 3 将 2 移到右边 6 = 3 * 2